数学における個数と量数の混同について
古代ギリシアの哲学者、エレアのゼノンの提供した「アキレスと亀」とは以下のものです。
俊足のアキレスと、足の遅い亀が徒競走をしました。
亀はアキレスよりも少し前の地点からスタートしますが、アキレスが亀のいた地点に到達したときには、亀はそこよりも少しだけ進んでいるはずです。
さらにアキレスが亀のいた地点に到達したときには、亀はそこよりも少しだけ進んでいるはずです。
これを繰り返していくと、アキレスは永遠に亀に追いつけないはずなのに、アキレスは何故亀に追いつくことができるのか、というものです。
ゼノンさんは、空間を細分化して個数を無限に増やすことは出来ても、実際の距離(無限全体の大きさ)は変わらないということを忘れていたのではないでしょうか。
つまり、亀のスタート地点がアキレスよりも10の距離を先行していたとして、アキレスが一秒間に1単位ずつ進み、亀が一秒間に0.1単位ずつ進めるとすれば、アキレスが10単位を進んで亀の居た位置に辿り着いとときには、亀はアキレスよりも1(0.1×10)単位だけ前方に居るわけです。
普通に考えれば、スタート地点からアキレスが20単位を進んだときには、亀はアキレスの後方8単位に居るはずです。
では何故これがパラドクスだと考えられたのか。
それは、アキレスが先行する亀の位置に辿り着く度に、その時点での亀とアキレスとの距離をまた十等分して、アキレスは一秒間に1単位ずつ進むことが出来、亀は一秒間に0.1単位ずつ進めると考えたからではないでしょうか(例えに用いた単位や距離は分かりやすいように適当です)。
これではいつまでたってもアキレスは亀に追いつくことは出来ませんよね。
距離はいくらでも分割が可能ですが、その分割個数と実際の距離を混同したのが、ゼノンさんの失敗だと思います。
要は、このパラドクスは分割個数と量数とを混同することからくる錯覚だということです。
個数と量数の違いを分かりやすく例えれば、『百個に分割した一つの林檎は、十個に分割した一つの西瓜よりも数が多いと言っているのと変わりありません』ということです。
個数で言えば林檎は百個、西瓜は十個ですが、量数で言えば西瓜の方が圧倒的に多いんです。
ゼノンさんのパラドクスの間違いは、物をいくらでも小さく細分化していけば、その一個ずつの無限小の大きさが同じになると錯覚したことにあるのだと思います。
林檎の大きさを西瓜の十分の一だとすれば、無限小になっても林檎の一個の大きさは、常に西瓜の一個の大きさの十分の一でしかないのですから。
つまり無限小というのは、どこまで行っても到達点ではなく、『いくらでも分割が可能であるという状態』にすぎないということです。
林檎
一回目 二分の一
二回目 四分の一
三回目 八分の一
・・・∞
西瓜
一回目 二分の一
二回目 四分の一
三回目 八分の一
・・・∞
林檎と西瓜の一個ずつの無限小の大きさが同じだという錯覚は、計算のプロセスの違うところを比較したからではないでしょうか。
例えば林檎の四分の一と西瓜の十六分の一を同じ一個の無限小として数えたからではないかということです。
しかし無限小は分割のプロセスの状態なので、比較するのであれば同じ分割回数の大きさを比較しなくてはなりません。
無限小を固定された終着点と想定した時点で、それはもう無限小ではなく、有限ということになるのですから。
林檎と地球を考えてみてください。
林檎も地球も、等しく分割すれば二つの無限を得ることができます。
林檎を無限に分割しても、個数は無限ですが、無限全体の大きさ(量数)は林檎より大きくなることはありません。
地球を無限に分割しても、個数は無限ですが、無限全体の大きさ(量数)は地球より大きくなることはありません。
それなのに無限小という一点において、林檎と地球の大きさが同じになるというのは、やはり計算上のズルですよね。
The Paradox and the Scale
The paradox of "Achilles and the Tortoise," proposed by the ancient Greek philosopher Zeno of Elea, is as follows: A fast Achilles and a slow tortoise race. The tortoise starts slightly ahead. However, by the time Achilles reaches the point where the tortoise started, the tortoise has moved a little further. When Achilles reaches that next point, the tortoise has again moved forward. Mathematically, it seems Achilles can never overtake the tortoise.
In my view, Zeno failed because he forgot that while one can subdivide space to increase the "Count" (the number of segments) infinitely, the actual "Magnitude" (the total distance) remains unchanged.
Consider this: If the tortoise starts 10 units ahead, and Achilles moves at 1 unit per second while the tortoise moves at 0.1, Achilles will reach the tortoise's starting point in 10 seconds. At that moment, the tortoise is 1 unit ahead. Normally, when Achilles has moved 20 units from the start, the tortoise would be 8 units behind him. The reason this was considered a paradox is that Zeno assumed we must redefine the distance into smaller and smaller segments every time Achilles reaches the tortoise's previous position.
Segmentation can be infinite, but Zeno's failure was confusing the "Count of segments" with the "Actual Magnitude of distance." This paradox is an illusion stemming from this confusion.
IV. The Analogy of the Apple and the Watermelon
To illustrate the difference between "Count" and "Magnitude": "Saying that an apple divided into a hundred pieces has more quantity than a watermelon divided into ten pieces is fundamentally flawed." In terms of "Count," the apple has 100 pieces and the watermelon only 10, but in "Magnitude," the watermelon is always larger.
The core of Zeno's paradox is the illusion that if you make objects infinitely small, their "Infinitesimal Magnitudes" become equal. However, if an apple's magnitude is 1/10th that of a watermelon, any segment of the apple must always be compared to a segment of the watermelon that is ten times larger. This ratio of magnitude never changes, even at infinity.
V. Defining the "Infinitesimal" as a "State"
The infinitesimal is not a fixed final number; it is merely a "state" in which no matter how much you divide, further division is always possible.
Apple: 1st: 1/2 → 2nd: 1/4 → 3rd: 1/8 ... → ∞
Watermelon: 1st: 1/2 → 2nd: 1/4 → 3rd: 1/8 ... → ∞
The illusion that the infinitesimal magnitudes of an apple and a watermelon are the same is like comparing 1/4th of an apple to 1/16th of a watermelon at arbitrary points in the process. But since the infinitesimal is a process of eternal division, we must always compare their volumes at the same number of divisions.
The moment you assume the infinitesimal is a fixed "destination," it is no longer infinitesimal—it becomes finite. Consider an apple and the Earth: both can create two distinct infinities through division. If you divide an apple infinitely, the "Count" is infinite, but the "Total Magnitude" never exceeds the size of the apple. If you divide the Earth infinitely, the "Count" is also infinite, but the "Total Magnitude" never exceeds the size of the Earth. To claim that the size of an infinitesimal piece of an apple and an infinitesimal piece of the Earth become "equal" is, once again, a mathematical "cheat."
