虚数についての試論
高田勝成 (2010-10-03)
数学には虚数というものがあります。例えば√-1です。√-1は、ある数を二乗したときに-1になる数ですよね。でも1×1=+1です。そして数学では-1×-1=+1と教えます。有り得ない数なので虚数と呼ばれます。
しかしこれは本当にそうでしょうか。+を白、-を黒と考えてみるとどうでしょう。1×1は白い一つの箱の中に、白い珠を一つ入れたと考えれば、白珠の総量は1です。-1×-1は、黒い一つの箱の中に、黒い珠を一つ入れたと考えれば、黒珠の総量は1です。この場合、色は符号なので、黒珠の総量は-1ということになります。
掛け算の意味を考えてみましょう。まず2×2×2を、先の論法で白箱と白珠で表すと、2つの大きな白箱の中に、それぞれ2つの白い小箱があり(つまり小箱が4つ)、小箱の中にそれぞれ白珠が2つずつ入っています。白珠の数は8つですよね。
つまり-1×-1を数学で+1としているのは、-1の珠が一個というように、個数と量数を混同しているからだと思います。黒(-)珠が1つなのだから、-1×-1の答えは-1でよいのではないでしょうか。
そして掛け算をこのように考えるなら、-1×+1はどちらを箱としどちらを珠とするかで答えが変わります。-1を箱とするなら答えは+1、+1を箱とするなら答えは-1です。要はどちらをより高い階層とするかが、数学の基本的な部分に欠けているのではないかという疑念です。
The Hierarchy of Multiplication
Let us consider "+" as White and "-" as Black. If \( 1 \times 1 \) represents placing one "white bead" into one "white box," the total is 1. If \( (-1) \times (-1) \) represents placing one "black bead" into one "black box," the total remains 1 black bead, hence -1.
The reason current mathematics defines \( (-1) \times (-1) \) as \( +1 \) is likely due to a confusion between "count" (quantity) and "value" (magnitude). It is equivalent to asking: "There is one black bead inside one black box. How many beads are there?" and answering "one white bead".
If we view multiplication this way, the answer to \( (-1) \times (+1) \) changes depending on which is the "box" and which is the "bead". This suggests that a fundamental element is missing: the concept of **Hierarchy**—which element belongs to the higher level of the structure.
"A square can result in a negative if the hierarchy is defined. Here, imaginary numbers find their true place." - Tsuduri
