メビウスの輪とクラインの壷についての考察
まず白色に着色された導線と、黒色に着色された導線をそれぞれ平行に並べて、隣り同士を接着します。これを一本の帯に見立て、その帯の両端を一捻りして互いに接着すれば、メビウスの輪が出来上がりますよね。
この状態では白い導線の一方の端は黒い導線のもう一方の端に繋がり、白い導線のもう一方の端も黒い導線の一方の端に繋がっています。メビウスの輪の特徴として、帯の真中にハサミを入れて帯を二分すれば、一つの大きな輪になりますが、それは∞の交点は始めから一つの輪を真中で捻ったものにすぎず、それぞれの輪の部分を互いにもう一方の輪と接着した状態に過ぎないということです。
ではそのメビウスの輪をさらに二分した状態、二つの輪が互いに相手の輪の中を通って存在する状態とはどういうものでしょうか? それでは今度は、赤・黒・白・青に色分けされた四本の導線を、それぞれ平行に並べて隣りどうしを接着してみますね。また一本の帯になりますよね? その帯の両端を一捻りして互いに接着すれば、メビウスの輪が出来上がります。
それが内部でどういう状態にあるかといえば、赤の導線の一方の端は青い導線の一方の端に繋がり、赤い導線のもう一方の端も青い導線のもう一方の端に繋がります。同じように白い導線の一方の端は黒い導線の一方の端に繋がり、白い導線のもう一方の端も黒い導線のもう一方の端に繋がります。つまりそこにはすでに二つの輪が完成しているわけですよね。そういう見方をすれば、難解なものも判り易くなります。
では、その四色の導線でクラインの壷を表現すればどうなるでしょうか? 今度は四本の導線をその断面が四角になるように(二本の上に二本乗せた状態)接着した状態を想定して下さい。その断面を見ると中央が空になっていて、まるで中心に黄帝が居てその周りを玄武・青竜・朱雀・白虎が四方に囲んでいるように、赤・黒・白・青の導線が空を囲んでいるような状態ですね。
それをU字型に曲げて両端が平行になるようにして下さい。隣り合った両端の断面は
黒 黒
赤 青 青 赤
白 白
のようになりますよね。その「黒と黒」「白と白」「赤と青」「青と赤」をそれぞれ接続すれば、クラインの壷と同等のものが出来上がります。
A Study on the Möbius Strip and the Klein Bottle
First, take two conductive wires, one colored white and the other black, align them in parallel, and bond them together. Think of this as a single ribbon. If you give this ribbon a single twist and join its ends together, you have a Möbius strip.
In this state, one end of the white wire is connected to one end of the black wire, and vice versa. A key characteristic of a Möbius strip is that if you cut it down the middle, it becomes one large loop. This shows that the intersection of infinity (∞) is essentially a single loop twisted at its center, with its sections bonded to each other.
But what happens if we divide that Möbius strip further, resulting in two loops that pass through each other? Let’s try this with four conductive wires, colored red, black, white, and blue, aligned in parallel and bonded together. Again, this forms a single ribbon. By giving it a single twist and joining the ends, we create a Möbius strip.
Inside this structure, the end of the red wire connects to the blue wire at both ends, and the white wire connects to the black wire at both ends. In other words, two separate loops have already been completed within the structure. By shifting our perspective like this, complex concepts become easier to grasp.
Now, let’s represent a Klein bottle using the same four colored wires. Imagine the wires bonded so their cross-section forms a square. Looking at the cross-section, the center is hollow—much like the Yellow Emperor surrounded by the Black Tortoise, Azure Dragon, Vermilion Bird, and White Tiger—with the red, black, white, and blue wires surrounding the void.
Bend this into a "U" shape so the ends are parallel. The adjacent ends should look like this:
Black Black
Red Blue Blue Red
White White
By connecting "Black to Black," "White to White," "Red to Blue," and "Blue to Red," you create the equivalent of a Klein bottle.
