『自然数累計における末尾数の回帰的対称性に関する考察』
著者：高田 勝成
【概要】自然数の総和（三角数 \( T_n = \sum_{k=1}^{n} k \)）を十進法における剰余類（\( \text{mod } 10 \)）として展開した際、そこには単純な反復を超えた、鏡面的な対称性を伴う「呼吸周期」が存在する。本稿では、周期 \( 20 \) の中に潜む、順方向および逆方向への交互循環構造を明らかにする。
【数理的定義と循環】数列 \( S = \{T_n \pmod{10} \mid n = 0, 1, 2, \dots\} \) は以下の \( 20 \) 項を基本周期として無限に回帰する。
\[ 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0 \]
この数列の特筆すべき点は、中心点（\( n=10 \)）を軸とした対称性にある。
\[ T_n \equiv T_{20-n} \pmod{10} \]
この特性により、数列は \( 0 \) から始まり \( 5 \) の「静止点」を経て再び \( 0 \) へと回帰する、あたかも生命が息を吸い込み、そして吐き出すかのような「数理的呼吸」を描くのである。
A Study on the Recursive Symmetry of Last Digits in the Summation of Natural Numbers
Author: Katsunari Takada
[Abstract] When the sum of natural numbers (triangular numbers, \( T_n = \sum_{k=1}^{n} k \)) is expanded as a residue class in decimal notation (\( \text{mod } 10 \)), there exists a "respiration cycle" accompanied by mirror-like symmetry that transcends mere repetition. This paper elucidates the alternating cyclic structure between forward and backward directions hidden within a period of \( 20 \).
[Mathematical Definition and Recurrence] The sequence \( S = \{T_n \pmod{10} \mid n = 0, 1, 2, \dots\} \) recurs infinitely with the following \( 20 \) terms as the fundamental period:
\[ 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0 \]
The most remarkable feature of this sequence lies in its symmetry centered around the midpoint (\( n=10 \)):
\[ T_n \equiv T_{20-n} \pmod{10} \]
Due to this characteristic, the sequence begins at \( 0 \), passes through the "point of stillness" at \( 5 \), and returns to \( 0 \) once more—drawing a "mathematical respiration," as if a living entity is inhaling and exhaling.
