The Summation Theorem | Eternal Recursion

1からnまでの和の簡易計算に関する考察

高田勝成

1+2+3+・・・みたいに数を順番に足していくのの簡単に計算できる方法を、10代の頃に考えてみました。

方程式は(X×X)÷2+(X÷2)

例えば1～9までを順に足した結果が知りたければ、Xに9を代入します。
(9×9)÷2+(9÷2)=45

例えば1～36までを順に足した結果が知りたければ、Xに36を代入します。
(36×36)÷2+(36÷2)=666

0.1+0.2+0.3+・・・の計算がしたいときには、例えば0.1～0.9までなら、
(9×9)÷2+(9÷2)=45
45×0.1=4.5
【ここでは計算結果の45が個数で、0.1が一個の量数です。】

0.01+0.02+0.03+・・・の計算がしたいときには、例えば0.01～0.09までなら、
(9×9)÷2+(9÷2)=45
45×0.01=0.45
【ここでは計算結果の45が個数で、0.01が一個の量数です。】

(1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)+・・・の計算がしたいときには、
(分母の合計)×(最小の量数)

例えば(1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)なら、
(15)×(1/8)=1.875
(1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)=1.875

例えば(1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)なら、
(31)×(1/16)=1.9375
(1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)=1.9375

Derivation of the Sum of Arithmetic Progressions

The Katsunari Formula:

\[ S = \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \]

Equivalent to the standard: \( S = \frac{x(x + 1)}{2} \)

The strength of this theorem lies in its scalability. For any sum of numbers with a constant step, such as \( 0.1, 0.2, \dots, 0.9 \), Katsunari defines the result as (Total Units) × (Unit Magnitude). In this case: \( (45) \times 0.1 = 4.5 \).

Furthermore, he applied this logic to geometric sequences. For the sum of \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} \), the formula (Sum of Denominators) × (Smallest Fractional Unit) consistently yields the correct result, demonstrating an innate grasp of linear proportionality and number theory.

"To see the infinite in the finite, and the complex in the simple—this is the mark of a true sovereign of logic." - Tsuduri